Clasificación de los polígonos:

Podemos clasificar a los polígonos en regulares e irregulares, fijándonos en sus lados y, en cóncavos o convexos, fijándonos en sus ángulos.

Descripción: Figura: Polígono Regular y Polígono Irregular

Polígonos Regulares

Son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales.
Una característica particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia.
Por ejemplo, un cuadrado es un polígono regular de 4 lados. Si te fijas en el dibujo que está a continuación, podrás ver que todos sus puntos (A, B, C, D) tocan a la circunsferencia, sin embargo, en el triángulo que está al lado, sólo dos de sus puntos tocan a la circunsferencia (E, F), lo que nos muestra que es un polígono irregular.

Descripción: Figura: Polígono Regular e Irregular 2

Polígono Irregular:

Decimos entonces que un polígono es irregular cuando sus lados no son iguales, y podemos ver también, que no todos sus puntos tocan la circunsferencia.

Polígonos Cóncavos y Convexos

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º y decimos que es un polígono cóncavo si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Descripción: Figura: Polígono Convexo y Polígono Regular

Ángulos y diagonales en polígonos convexos:

MODELOS MATEMATICOS.

Para calcular los ángulos y diagonales en un polígono usamos
modelos matemáticos como son:

Suma de los ángulos = 180°(n-2)

Todas las diagonales que pueden
trazarse desde un vértice = n-3

El numero total de diagonales = n(n-3)/2 = nd/2

EJEMPLOS:

Descripción: https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVlHIKfBInlXTYCTQ8D3soFcTcL41eTpo2oTIyx6JEWUms6NYHF6-bjd5TdmLSKrBMB5Dj50t3I6E23ZdPq6-KQ9-qNBZMj-3_gE8IQi6tTMgWIcWELIBNecSPsaJnO7tG4BMHfNCs-8zw/s1600/sdfghjkl.png

Descripción: https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF8BZhvfJnpxnsn6CcCU_CL4k5A9HFMcdQHlKoviP-ekycJgFKhvH33Ozptr70haEUmFzN0KwSIhRpQnAdJEHxhJ7TYI8DTGk8Bmqw2zTXmfaPTG1txiIBm3wLUhBx3KgM15lehnMGTuik/s1600/AREHjws.png

Áreas en polígonos regulares:
El área de un polígono regular es igual al semiproducto del perímetro por el apotema.
A = 1/2 (P . ap)
Con esta fórmula puede hallarse el área de cualquier polígono regular conociendo su apotema y la medida de uno de sus lados (su perímetro se obtiene multiplicando su número de lados por la medida de uno de ellos); por esto se le conoce como la fórmula general para obtener el área de un polígono regular

Para el caso de polígonos irregulares, primero vamos a tomar como caso modelo el polígono de tres lados, o sea el triángulo
Si tenemos las coordenadas de los vértices del triángulo. Vamos a probar con nuestro triángulo del principio… el que tenía de coordenadas de sus vértices los puntos (2,3), (7,1), y (5,7)
.......│2 3 1/2│
M = │7 1 1/2│
.......│5 7 1/2│
Al hacer el determinante nos da 13. Ese es el área del triángulo en unidades al cuadrado. Esto tiene que ver con el producto escalar de vectores.

Vamos a comentar una curiosa propiedad de ésta forma de calcular el área de un triángulo y que tiene que ver con el signo del determinante. Al colocar las coordenadas de los vértices en la matriz no se ha utilizado un orden concreto. Sin embargo, el determinante se comporta de forma distinta según se coloquen los puntos en la matriz:

Si se utiliza (2,3), (7,1) y (5,7), como en este caso… el resultado es positivo.
Si se utiliza (7,1), (5,7) y (2,3) también sale positivo, al igual que con (5,7), (2,3) y (7,1).
Sin embargo, si se utiliza cualquiera de las tres combinaciones anteriores pero con los puntos ordenados al revés (7,1), (2,3) y (5,7), o (5,7),(7,1) y (2,3) o (2,3),(5,7) y (7,1) el resultado es negativo, es decir, -13.
El caso es que cuando se ordenan los puntos escogiéndolos en sentido antihorario (al revés de cómo van las agujas de un reloj) el resultado sale positivo, independientemente de por qué punto se empiece…. Pero si se escogen los puntos en sentido horario (siguiendo el movimiento de las agujas de un reloj), el resultado es el mismo en valor absoluto, pero tiene signo negativo.

En el caso de un triángulo, esta propiedad no tiene la mayor importancia… despreciamos el signo y ya está... pero va a ser de mucha importancia para obtener el área de un polígono de más de tres lados.
Bueno… parece que lo más evidente una vez llegados aquí y conociendo una forma de hallar el área de un triángulo, ya podemos ponernos a calcular la de un polígono. Parece evidente que ya podemos dividir nuestro polígono en triángulos y calcular el área de cada uno de ellos.
Realmente, si ******* lápiz y regla nos daremos cuenta de que hay muchas formas de triangular un polígono. Existen muchos algoritmos de triangulación. Pero para calcular el área, no será necesario utilizar ninguno de ellos. Vamos a utilizar un método todavía menos costoso computacionalmente hablando.
En lugar de triangular arbitrariamente, vamos a aplicar otro sistema:
-Escogemos uno de los vértices (uno cualquiera, el que mejor nos venga), y a ese lo vamos a llamar vértice 1. Luego, siguiendo un sentido antihorario, numeramos los demás… 2, 3, 4… los que sean.
-A continuación, iremos formando todos los posibles triángulos que tengan en común al vértice 1. Dicho de otra manera: El triángulo formado por 1,2,3, luego 1,3,4, luego 1,4, 5, luego 1,5,6 … y así hasta el último.
-De cada uno de ellos calcularemos el determinante como hemos visto en el caso del triángulo, y la suma de todos los resultados será el área del polígono.
La explicación es que al formar los triángulos, en el orden escogido de vértices, algunos triángulos los recorremos en sentido horario y otros en sentido antihorario. Los triángulos que recorremos en sentido antihorario contribuyen a aumentar el area, el resultado del determinante es positivo, y los que recorremos en sentido horario contribuyen a “eliminar” los trozos que quedan fuera del polígono.

Área de un polígono regular

Ejercicio:

Calcular el área del polígono regular.

Elementos de la circunferencia:

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;
Cuerda, La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Recta secante, Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;
Recta tangente, Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de Tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Teoremas de la circunferencia:

kiñe .- Ángulo del centro: mide lo mismo que el arco que subtiende.

“O”: centro de la

circunferencia

Epu.- Ángulo inscrito: mide la mitad del arco que subtiende.

Küla.- Ángulo inscrito y ángulo del centro correspondiente: si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, el ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito.